jaringan komputer

http://royfrengkypardosi.files.wordpress.com/2013/03/a.gif

Disusun oleh:

Nama: Jefri Siagian

Kelas: TI-M1118

NPM:11119632

Sekolah Tinggi Manejemen Informatika Dan Komputer

MEDAN

Probabilitas dan Statistika

Konsep dan Definisi

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Defenisi probabilitas

Probabilitas

adalah harga perbandingan jumlah kejadian (A) yang mungkin dapatterjadi terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi dalamsebuah peristiwa.

Contoh:

Peluang untuk mendapatkan angka genap dari lemparan sebuah dadu. Jumlahkejadian A yaitu munculnya angka genap dalam 1 kali lemparan : 2, 4, 6 = n(A) =3, dan jumlah seluruh kejadian yang mungkin terjadi dari 1 kali lemparan sebuahdadu:1,2,3,4,5,6 = n(N) = 6, sehingga2163n(N)n(A)P

(A)

= = =

Berpeluang sama berarti kedua keadaan tersebut memiliki jumlah kemunculankejadian yang sama.Sebuah kejadian adakalanya terkait dengan kejadian yang lain, hubungan antar kejadian satu dan lainnya dapat kita bayangkan dengan mudah. Sebagai contohhubungan

atau

, hubungan ini akan memperbesar nilai peluang. Peluang untuk mendapatkan angka 2 atau 3 dalam sebuah lemparan dadu adalah sebagai berikut:P

(2 atau 3)

= P

(2)

+ P

(3)

=1/6 + 1/6 = 2/6= 1/3,dalam hal ini P

(2 atau 3)

> P

(2)

(2 atau 3)

> P

(3)

Hubungan

dan

, hubungan ini akan memperkecil nilai peluang. Peluang untuk mendapatkan angka 2 dan 3 dalam lemparan dua buah dadu adalah sebagai berikut:P

(2dan 3)

= P

(2)

. P

(3)

=1/6 x 1/6 = 1/36, dalam hal ini P

(2 dan 3)

< P

(2)

(2 dan 3)

< P

(3)

Permutasi

adalah urutan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya, dandinotasikan dengan

Pr , yang artinya

‘Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia‘

Contoh: a.

3 3

a b c a c b b a c b c ac a b c b asecara keseluruhan ada 6 permutas

Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.

§ Contoh 1:

Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

§ Contoh 2:

Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Rumus : P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Di dalam suatu pabrik ada 30 wanita dan 70 laki-laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan “apakah makanan tadi cukup baik”. Untuk itu akan di undi (di acak) siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya. Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah 30/100 -> P (0,3)

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkianan suatu peristiwa akan terjadi.

Pendekatan

Konsep-konsep probabilitas tidak hanya penting oleh karena terapan-teranpannya yang langsung pada masalah-masalah bisnis akan tetapi juga karena probabilitas adalah dasar dari sampel-sampel dan inferences tentang populasi yang dapat dibuat dari suatu sampel. PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :(1). Pendekatan Klasik(2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan(3). Pendekatan Subyektif

1. pendekatan klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian. “Jika ada a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, dan b banyaknya kemungkinan tidak terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing”. Probabilitas bahwa akan terjadi A adalah P(A) = a / (a+b)

2. pendekatan frekuensi relatif

Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan. Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai probabilitas didasarkan pada hasil obserbasi dan pengumpulan data.
Misalkan berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yagng bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk data adalah P(A) = A /N

3 pendekatan subyektif

Pendekatan subyektip dalam penentuan nilaiprobabilitas adalah tepat atau cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.

Hukum Probabilitas

Ada dua peraturan umum dalam probabilitas : penjumlahan dan perkalian

Aturan Penjumlahan akan terjadi jika dua kejadian akan mungkin muncul dalam satu pengambilan.

Contoh :

Dalam pelemparan dadu, setiap bidang memiliki probabilitas akan muncul = 1/6. Sekarang kita akan menghitung :

a. Probabilitas munculnya bidang 3 atau 6

b. Probabilitas munculnya bidang 2 atau 4

Rumus yang digunakan :

P (X atau Y) = P (X) + P(Y) – P (X dan Y bersama)

Oleh karena bidang-bidang dalam dadu tidak bisa muncul serentak, maka :

Untuk kejadian-kejadian variabel independen digunakan rumus :

P (X atau Y) = P (X) + P(Y)

Maka pada soal di atas :

P (3 atau 6) = P (3) + P (6)

= 1/6 + 1/6

= 2/6

= 1/3

P (3 atau 6) = P (2) + P (4)

= 1/6 + 1/6

= 2/6

= 1/3

Aturan perkalian akan terjadi jika ada dua atau lebih kejadian yang terjadi secara beruntun atau simultan.

Jika X dan Y merupakan dua kemungkinan hasil, maka probabilitas X dan probabilitas Y merupakan hasil perkalian X dengan Y.

P (X dan Y) = P (X) x P(Y)

Jadi :

P (3 dan 6) = P (3) x P (6)

= 1/6 x 1/6

= 1/36

Probabilitas dalam Distribusi Frekuensi

Contoh :

Dalam pengumpulan nilai probabilitas dan statistika mahasiswa jurusan Teknik Elektro FT UNP diperoleh daftar nilai sebagai berikut :

X	40	50	60	70	80	90	100
Y	3	4	5	8	2	2	1

N = 25

Jika kita mengambil 1 skor dari populasi secara random, berapa probabilitas keluar nilai di atas 70?

Mahasiswa yang memperoleh nilai >70 = 5 orang

Maka :

P (X=70) = 5/25 atau 1/5

Jika diinginkan X=60 dan X<80 :

P (X=60) = 5/25 atau 1/5

P (X<80) = 20/25 = 4/5

Dan sebagainya

Probabilitas dalam Distribusi Normal

Data populasi yang berdistribusi normal : rata-rata (mean) = median = mode

Contoh 1:

Jika rata-rata nilai statistik = 8, simpangan baku = 10. Berapakah probabilitas seorang mahasiswa untuk memperoleh nilai >88?

Jawab :

1. X > 88

2. Tentukan Z skor dari batas bawah nilai yang kita inginkan.

Z = (88-80) : 10 = 0,8

3. Tentukan posisi untuk Z >88 dalam distribusi normal, untuk itu perlu bantuan tabel Z.

Lihat tabel Z (tabel distribusi normal) pada kolom A yang bernilai 0,80. Kemudian lihat kolom C = 0,2119.

P(X>88) = 0,2119 = 21,19%

Kita menginginkan X > Z (0,80) : maka lihat kolom C

Contoh :

Jika rata-rata nilai statistik = 8, simpangan baku = 10. Berapakah probabilitas seorang mahasiswa untuk memperoleh nilai <80?

Jawab :

(70<X<80) atau Z (0,88) adalah 0,3106 (lihat kolom B

Harus diketahui : µ (rata-rata populasi) membagi kurva normal menjadi dua

bagian yang sama besar, sehingga probabilitas di bawah

µ adalah 0,5

Maka : P (x<80) adalah = 0,5 + 0,3106 = 0,8106.

Probabilitas dalam Distribusi Binomial

Distribusi binomial : distribusi yang biasa diterapkan dalam beberapa peristiwa.

Biasanya dipakai pada satu eksperimen yang bertujuan

Tertentu. Hasil eksperimen ada dua : berhasil atau tidak.

Keterangan :

! : (baca faktorial) adalah perhitungan kelipatan, misalnya :

4! = 4x3x2x1 = 24

0! = 1

1! = 1

X = banyaknya kejadian yang ingin kita cari

n = banyaknya perlakuan

p = probabilitas keberhasilan dalam sekali perlakuan

q = probabilitas kegagalan dalam sekali perlakuan

Contoh :

Pada pelemparan koin Rp.500 sebanyak 3 kali. Berapa probabilitas akan keluar 2 kali gambar bunga melati (BM) tanpa memperhatikan letak (kapan keluarnya)

Jawab :

n = 3; x = 2; p = ½; q = ½;

Secara sederhana, perhitungan di atas dapat dibuktikan kebenarannya. Yaitu dengan mengurutkan beberapa kombinasi yang mungkin muncul :

BM BM BM BG BG BG

BM BM BG BG BG BM

BM BG BM BG BM BG

BM BG BG BG BM BM

Berdasarkan kemungkinan tersebut, maka kombinasi yang mengandung BM dua kali adalah :

BM BM BG

BM BG BM

BG BM BM

Maka jumlah kombinasi keluar BM dua kali adalah 3. Jumlah kombinasi keluar BM dua kali dalam tiga kali lemparan :

C (2 dalam 3) = 3! : [(3-2)! 2!]

= 6 : 2

= 3

Jika dihubungkan dengan probabilitas yang telah dipelajari terdahulu :

P (BM) = ½ dan P (BG) = ½. Maka :

P (BM BM BG) = P (BM) x P (BM) x P (BG)

= ½ x ½ x ½

= 1/8

Secara umum rumus di atas dapat diubah menjadi :

Keterangan :

p = P (BM)

q = P (BG)

x = banyaknya keluar BM

dengan demikian maka :

Oleh karena kita ingin mengetahui probabilitas kombinasi yang mengandung dua BM dalam tiga kali lemparan, maka :

P = n x P (BM BM BG) atau

= C (2BM dalam 3) x P (BM BM BG) atau

Rata-rata dalam distribusi binomial merupakan hasil kali banyak percobaan (n) dengan probabilitas keberhasilan percobaan (p).

Dengan demikian maka rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus :

Sedangkan simpangan baku dalam distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus :

Contoh :

Dari pelemparan koin sebanyak empat kali, akan menghasilkan :

Fungsi perhitungan rata-rata dan simpangan baku disini adalah untuk melakukan transformasi ke distribusi normal.

Jika kita ingin mencari probabilitas keluar BM sebanyak tiga kali dalam empat lemparan, maka kita lebih baik melakukan transformasi ke Z skor :

Baru kemudian cari dalam tabel Z(+) = 0,1587. Dengan demikian maka probabilitas keluar BM sebanyak tiga kali dalam empat kali lemparan adalah 15,87%.

Probabilitas dalam Distribusi Poisson

Distribusi Poisson : digunakan untuk menghadapi data diskrit yang jumlah

sampelnya besar/banyak. Rentangan sampelnya mulai

dari nol (0) sampai tak terhingga (~)

fungsi probabilitas distribusi diskrit yang mempunyai n banyak atau tak terhingga dapat dihitung dengan rumus :

Keterangan :

e = bilangan Euler = 2,71828

μ = parameter yang besarnya n x p

X = nilai yang akan dicari, mulai dari nol sampai banyaknya n

Contoh :

Apabila kita melempar 5 buah koin secara serentak sebanyak 64 kali. Berapakah probabilitas keluarnya 5 BM untuk 5 koin tersebut secara bersama?

Jawab :

Setiap lemparan 5 koin dapat menghasilkan kombinasi sebanyak 2 pangkat 5 (32 kombinasi). Dari ke 32 kombinasi tersebut, satu diantaranya adalah BM BM BM BM BM. Dengan demikian maka probabilitas keluarnya 5 BM dalam sekali lemparan adalah 1/32.

Hal ini berarti p=1/32 dan q=1-1/32=31/32.

Oleh karena μ = n . p maka μ = 64 x 1/32 = 2

Maka dari soal di atas X bisa saj 0,1,2,3,4,5, dst sampai dengan 64.

Artinya, keluarnya BM BM BM BM BM dalam lemparan 64 kali bisa saja 0 kali, 1 kali, 2 kali, 3 kali, dst sampai 64 kali.

Apabila kita menginginkan pasangan 5 BM sebanyak 4 kali, maka :